Phép toán về luỹ thừa

LŨY THỪA

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Lũy thừa với số mũ nguyên:

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho $a\in \mathbb{R},\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . Khi đó

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm: $a\in {{\mathbb{R}}^{*}},\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . Khi đó ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$ và ${{a}^{0}}=1$ .

Lưu ý: ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho $a>0$ và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$ ; trong đó $m\in \mathbb{Z},\,\,n\in \mathbb{N},\,n\ge 2.$ Khi đó ${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$ .

3. Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Cho $a>0,\,\alpha \in \mathbb{R},\,({{r}_{n}})$ là dãy số hữu tỉ sao cho $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha$ . Khi đó ${{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}$ .

4. Các tính chất của lũy thừa:

Cho $a,\,\,b$ là các số thực dương, $x,y$ là các số thực tùy ý.

+ ${{a}^{x+y}}={{a}^{x}}.{{a}^{y}}$ và ${{a}^{x-y}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}$ .

+ ${{a}^{x}}.{{b}^{x}}={{(ab)}^{x}};\,\,\frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{x}}$ và ${{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{x.y}}$ .

+ Nếu $a>1$ thì ${{a}^{x}}>{{a}^{y}}\Leftrightarrow x>y$ .

+ Nếu $0<a<1$ thì ${{a}^{x}}>{{a}^{y}}\Leftrightarrow x<y$ .

5. Công thức lãi kép:

* Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước.

* Công thức: Giả sử số tiền gốc là $A$ , lãi suất $r%$ mỗi kì gửi.

- Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là $A{{(1+r)}^{n}}$ .

- Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là $A{{(1+r)}^{n}}-A=A{{[1+r)}^{n}}-1]$ .

B. Bài tập:

Ví dụ 1.1 (Sở GD Vĩnh Phúc) Giá trị của biểu thức $P=\frac{{{2}^{3}}{{.2}^{-1}}+{{5}^{-3}}{{.5}^{4}}}{{{10}^{-1}}-{{(0,1)}^{0}}}$ là

A. $-9$ . B. $9$ . C. $-10$ . D. $10$ .

Lời giải:

$P=\frac{{{2}^{3}}{{.2}^{-1}}+{{5}^{-3}}{{.5}^{4}}}{{{10}^{-1}}-{{(0,1)}^{0}}}=\frac{{{2}^{2}}+{{5}^{1}}}{\frac{1}{10}-1}=\frac{9}{-0,9}=-10$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm – An Giang 2017) Cho biểu thức $P={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(0,1)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{100}}.\frac{{{(0,1)}^{6}}}{{{(0,1)}^{3}}}$ được thu gọn thành biểu thức nào sau đây?

A. $P={{(0,1)}^{105}}$ . B. $P={{(0,1)}^{203}}$ . C. $P={{(0,1)}^{202}}$ . D. $P={{(0,1)}^{104}}$ .

Lời giải:

Ta có $\displaystyle P={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(0,1)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{100}}.\frac{{{(0,1)}^{6}}}{{{(0,1)}^{3}}}={{(0,1)}^{200}}.\frac{{{(0,1)}^{6}}}{{{(0,1)}^{3}}}={{(0,1)}^{200+6-3}}={{(0,1)}^{203}}$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.3 (THPT Minh Hà) Cho $0<a\ne 1$ . Rút gọn $\frac{{{({{a}^{3}})}^{4}}}{{{a}^{2}}.{{a}^{\frac{3}{2}}}}$ bằng

A. ${{a}^{9}}$ . B. ${{a}^{\frac{17}{2}}}$ . C. ${{a}^{\frac{23}{2}}}$ . D. ${{a}^{\frac{7}{2}}}$ .

Lời giải:

Ta có $\frac{{{({{a}^{3}})}^{4}}}{{{a}^{2}}.{{a}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{{{a}^{3.4}}}{{{a}^{2+\frac{3}{2}}}}=\frac{{{a}^{12}}}{{{a}^{\frac{7}{2}}}}={{a}^{12-\frac{7}{2}}}={{a}^{\frac{17}{2}}}$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.4: Cho $f(x)=\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x}$ . Khi đó $f(0,09)$ bằng

A. $0,1$ . B. $0,2$ . C. $0,3$ . D. $0,4$ .

Lời giải:

Ta có $f(x)=\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x}={{x}^{\frac{1}{3}}}.{{x}^{\frac{1}{6}}}={{x}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{x}$ .

Do đó $f(0,09)=\sqrt{0,09}=0,3$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.5: Rút gọn biểu thức $P=\frac{{{({{a}^{\sqrt{3}-1}})}^{\sqrt{3}+1}}}{{{a}^{\sqrt{5}-3}}.{{a}^{1-\sqrt{5}}}}\,\,\,\,\,(a>0)$ . Kết quả là

A. ${{a}^{4}}$ B. $a$ C. $1$ D. ${{a}^{-4}}$

Lời giải:

$P=\frac{{{({{a}^{\sqrt{3}-1}})}^{\sqrt{3}+1}}}{{{a}^{\sqrt{5}-3}}.{{a}^{1-\sqrt{5}}}}=\frac{{{a}^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}}{{{a}^{\sqrt{5}-3+1-\sqrt{5}}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{-2}}}={{a}^{4}}$ . Chọn A.

Ví dụ 1.6: Biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}\,\,\,(x>0)$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. ${{x}^{\frac{15}{8}}}$ B. ${{x}^{\frac{7}{8}}}$ C. ${{x}^{\frac{15}{16}}}$ D. ${{x}^{\frac{3}{16}}}$

Lời giải:

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}\,=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x.{{x}^{\frac{1}{2}}}}}}=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{3}{2}}}}}}=\sqrt{x\sqrt{x.{{({{x}^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{1}{2}}}}}$

$=\sqrt{x\sqrt{{{x}^{\frac{7}{4}}}}}=\sqrt{x.{{({{x}^{\frac{7}{4}}})}^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{{{x}^{\frac{15}{8}}}}={{x}^{\frac{15}{16}}}$

Chọn C.

Ví dụ 1.7 (Đề minh họa năm 2017) Tính $P={{(7+4\sqrt{3})}^{2017}}{{(7-4\sqrt{3})}^{2016}}$ .

A. $P=1$ . B. $P=7-4\sqrt{3}$ .

C. $P=7+4\sqrt{3}$ . D. $P={{(7+4\sqrt{3})}^{2016}}$

Lời giải:

Ta có $P={{(7+4\sqrt{3})}^{2017}}{{(7-4\sqrt{3})}^{2016}}$ $={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2016}}(7+4\sqrt{3})=7+4\sqrt{3}$

Chọn C.

Ví dụ 1.8: Cho biểu thức $A={{(a+1)}^{-1}}+{{(b+1)}^{-1}}$ . Nếu $a={{(2+\sqrt{3})}^{-1}}$ và $b={{(2-\sqrt{3})}^{-1}}$ thì giá trị của A là

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Lời giải:

Ta có $a={{(2+\sqrt{3})}^{-1}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$

$b={{(2-\sqrt{3})}^{-1}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$

Thay $a=2-\sqrt{3}$ và $b=2+\sqrt{3}$ vào biểu thức A, ta được:

$A={{(2-\sqrt{3}\text{+1)}}^{-1}}+{{(2+\sqrt{3}\text{+1)}}^{-1}}={{(3-\sqrt{3})}^{-1}}+{{(3+\sqrt{3})}^{-1}}$

$=\frac{1}{3-\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=1$

Chọn A.

Ví dụ 1.9: Cho ${{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=23$ . Khi đó $K=\frac{5+{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}{1-{{3}^{-x}}-{{3}^{x}}}$ có giá trị bằng:

A. $-\frac{5}{2}$ . B. $\frac{1}{2}$ . C. $\frac{3}{2}$ . D. 2

Lời giải:

Ta có :

${{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=23\Leftrightarrow {{3}^{2x}}+\frac{1}{{{3}^{2x}}}=23\Leftrightarrow {{3}^{2x}}+{{2.3}^{x}}.\frac{1}{{{3}^{x}}}+\frac{1}{{{3}^{2x}}}=25$

$\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)}^{2}}=25\Rightarrow {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}}=5$ .

Khi đó $K=\frac{5+\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)}{1-\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)}=-\frac{5}{2}$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.10: Rút gọn $\frac{{{a}^{-1}}+{{(b+c)}^{-1}}}{{{a}^{-1}}-{{(b+c)}^{-1}}}.\left( 1+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \right).{{(a+b+c)}^{-2}}$ được:

A. $\frac{1}{2ab}$ . B. $\frac{1}{2ac}$ . C. $\frac{1}{2bc}$ . D. $\frac{1}{2(b+c)}$ .

Lời giải:

$\frac{{{a}^{-1}}+{{(b+c)}^{-1}}}{{{a}^{-1}}-{{(b+c)}^{-1}}}.\left( 1+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \right).{{(a+b+c)}^{-2}}$ $=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}}.\left( \frac{2bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \right).\frac{1}{{{(a+b+c)}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{a+b+c}{b+c-a}.\frac{{{(b+c)}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}.\frac{1}{{{(a+b+c)}^{2}}}$
$\displaystyle =\frac{a+b+c}{b+c-a}.\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{2bc}.\frac{1}{{{(a+b+c)}^{2}}}=\frac{1}{2bc}$