HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1. Phương pháp biến đổi tương đương:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
• Bước 2: Sử dụng các công thức mũ và logarit để biến đổi hệ đã cho thành hệ cơ bản.
• Bước 3: Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng, ... để giải.
• Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

                                                                         Lời giải:

Điều kiện: x > 0, y > 0.

 .

Thế vào (1) ta có :

Vậy hệ phương trình (8, 2) và ( ).

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
• Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để đưa hệ ban đầu về hệ đại số đã biết cách giải (hệ đối xứng, đẳng cấp, …)
• Bước 3: Giải hệ.
• Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 

                                                                         Lời giải:

Đặt u = 2^x (u > 0), v = 3^y (v > 0), hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ có nghiệm (2; 2).

3. Phương pháp hàm số:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
• Bước 2: Rút ra từ một phương trình trong hệ và đưa về dạng f(x) = f(y).
• Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số:

  Nếu f là một hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm duy nhất x = y.

• Bước 4: Thay x = y vào phương trình còn lại để giải hệ.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 

                                                                        Lời giải:

Xét hàm số f(x) = 3^x + x là hàm số đồng biến trên R ⇒ f(x) = f(y) ⇔ x = y.

Thay x = y vào phương trình (2) ta được: 3x² = 12 ⇔ x = ± 2.

Vậy hệ có nghiệm (-2; -2) và (2; 2).