ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VEVTO   A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa         · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .     · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.     · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu .     · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .     · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.     · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.     · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý:      + Ta còn sử dụng kí hiệu  để biểu diễn vectơ.      + Qui ước: Vectơ  cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.      + Mọi vectơ  đều bằng nhau. 2. Các phép toán a. Tổng của hai vectơ     · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .     · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .     · Tính chất: ;              ;           b. Hiệu của hai vectơ     · Vectơ đối của  là vectơ  sao cho . Kí hiệu vectơ đối của  là .     · Vectơ đối của  là .     · . Chú ý: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB <=>  + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC <=>  c. Tích của vecto với một số · Cho vectơ  và số k ∈ R.  là một vectơ được xác định như sau:         +  cùng hướng với  nếu k ≠ 0,  ngược hướng với  nếu k < 0.         + .     · Tính chất:            ;           ;                  <=> k = 0 hoặc .     · Điều kiện để hai vectơ cùng phương:  và   cùng phương .     · Điều kiện ba điểm thẳng hàng:    A, B, C thẳng hàng <=> ∃k ≠ 0: .     · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương  và  tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: .     Chú ý:     · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:         M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì              +                 +   (O tuỳ ý).     · Hệ thức trọng tâm tam giác:         G là trọng tâm của tam giác ABC  thì:               +               +  (O tuỳ ý). B – BÀI TẬP Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là  Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Hướng dẫn giải: Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác  Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ  khác . Tìm điểm M sao cho  cùng phương  Hướng dẫn giải: Gọi D là giá của  Nếu  cùng phương  thì đường thẳng AM// D Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì  cùng phương  Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa:  + Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì                              ,… (hoặc viết ngược lại) + Nếu  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:  Hướng dẫn giải: Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD, EF=BC=CD <=> EF=CD <=>  (1)  cùng hướng  (2) Từ (1),(2) suy ra   Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành     EF=BC=CD và EF//CD <=> EFDC là hình bình hành <=>     Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh:  Hướng dẫn giải: Ta có MC//AN và MC=AN <=> MACN là hình bình hành <=>  Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MD <=> =. Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra = <=>  Dạng 3: Các phép toán vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng  b) Chứng minh :  Hướng dẫn giải: a) + Vì  nên ta có                 = == + Vì  nên ta có                 = == + Vì  nên ta có                = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có  Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên  Vậy  Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: Hướng dẫn giải: a) , vì Þ k= b) k= –        c) k= – Dạng 3: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương Ví dụ 1: Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ  theo hai vectơ . Giải: Ta có                 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ  theo hai vectơ . Hướng dẫn giải:     Ta có      mà      <=>  Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: . Hướng dẫn giải: Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có  <=> VT=(đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì . Hướng dẫn giải: