PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG   I. Phương trình tổng quát của đường thẳng •  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d khi và chỉ khi giá của  vuông góc với d. • Phương trình tổng quát của đường thẳng d:                        (1)                 là vecto pháp tuyến của d. • Đặc biệt. Phương trình của d: Qua điểm  và có vectơ pháp tuyến  là:                 Qua gốc toạ độ O: Song song hay trùng với  : By + C = 0 Song song hay trùng với  : Ax + C = 0 Có hệ số góc k và qua  :  Có hệ số góc k và qua B(0 ; b) : y = kx + b . Qua A(a ; 0) và B(0 ; b):  . Đây là dạng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Trường hợp đường thẳng d có phương trình tổng quát ax+by+c=0  Nếu b khác 0 thì phương trình đưa được về dạng:  với , khi đó k là hệ số góc của đường thẳng d và đây là phương trình của d theo hệ số góc. II. Phương trình tham số của đường thẳng •  là vectơ chỉ phương của đường thẳng d khi và chỉ khi giá của  cùng phương với d . • Phương trình tham số : Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương  và qua . Phương trình tham số của d: Chú ý: 1. d có vectơ pháp tuyến  thì d có vectơ chì phương là  hay  2. d có vectơ chỉ phương  thì d có: * Hệ số góc  * Vectơ pháp tuyến :  hay  III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng  Đặt: D = A1 B1A2B2 ; Dx = B1 C1B2C2 ; Dy = C1 A1C2A2 IV. Khoảng cách và góc • Khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng                 Cho hai đường thẳng  • Phương trình hai phân giác của góc tạo bởi  là :               • Góc giữa  được cho bởi công thức :               •  Ghi chú:  lần lượt có vectơ chỉ phương  thì                •   lần lượt có hệ số góc   thì góc định hướng giữa  cho bởi công thức:                B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1: Viết phương trình của đường thẳng 1. Phương pháp giải: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định – Điểm  – Một vectơ pháp tuyến  của  Khi đó phương trình tổng quát của  là  Chú ý: Đường thẳng  có phương trình tổng quát là  nhận  làm vectơ pháp tuyến. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. Phương trình đường thẳng  qua điểm  có dạng  với  hoặc ta chia làm hai trường hợp + : nếu đường thẳng song song với trục  +  : nếu đường thẳng cắt trục  Phương trình đường thẳng đi qua  với  có dạng  Ví dụ 1: Cho tam giác  biết . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao  b) Đường trung trực của đoạn thẳng . c) Đường thẳng . d) Đường thẳng qua  và song song với đường thẳng . Lời giải: a) Vì  nên  là vectơ pháp tuyến của  Ta có  suy ra đường cao  đi qua  và nhận  là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là  hay . b) Đường trung trực của đoạn thẳng  đi qua trung điểm  và nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến. Gọi  là trung điểm  khi đó  Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực  là  hay  c) Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng  hay . d) Cách 1: Đường thẳng  có VTPT là  do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng  nên nhận làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là  hay . Cách 2: Đường thẳng  song song với đường thẳng  có dạng . Điểm  thuộc  suy ra . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là . Ví dụ 2: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình  và , tọa độ một đỉnh của hình bình hành là . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.     A.                             B.          C.                           D.  Lời giải: Đặt tên hình bình hành là  với , do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử ,  Vì  nên cạnh AB nhận  làm VTPT do đó có phương trình là  hay  Tương tự cạnh AD nhận  làm VTPT do đó có phương trình là  hay  DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng . Ta xét hệ  (I) + Hệ (I) vô nghiệm suy ra . + Hệ (I) vô số nghiệm suy ra  + Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chú ý: Với trường hợp  khi đó + Nếu  thì hai đường thẳng cắt nhau. + Nếu  thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu  thì hai đường thẳng trùng nhau. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau a)  b)  c)  d)  Lời giải: a) Ta có  suy ra  cắt  b) Ta có  suy ra  trùng  c) Ta có  suy ra  cắt  d) Ta có  suy ra  DẠNG 3. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 1. Phương pháp giải. Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau: Điểm A thuộc đường thẳng ( hoặc ) có dạng  Điểm A thuộc đường thẳng (ĐK: ) có dạng  với  hoặc  với  2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng  a) Tìm tọa độ điểm A thuộc  và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn     A.            B.           C.  và           D.  b) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm  lên đường thẳng      A.             B.                 C.                               D.  Lời giải: Ví dụ 2: Cho tam giác  vuông ở A. Biết , đường thẳng BC đi qua điểm . Tìm toạ độ đỉnh C.     A.               B.                 C.                D.  Lời giải: