HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   A. Lí thuyết cơ bản: 1. Hàm số  - Tập xác định: . - Tập giá trị: , tức là . - Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa là , với . - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng . - Hàm số  là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. - Đồ thị hàm số : 2. Hàm số  - Tập xác định: . - Tập giá trị: , tức là . - Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa là , với . - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng . - Hàm số  là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy tam trục đối xứng. - Đồ thị hàm số : 3. Hàm số  - Tập xác định: . - Tập giá trị: . - Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa là . - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  với . - Hàm số  là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng  làm đường tiệm cận. - Đồ thị hàm số : 4. Hàm số  - Tập xác định: . - Tập giá trị: . - Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa là . - Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  với . - Hàm số  là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng  làm đường tiệm cận. - Đồ thị hàm số : B. Bài tập: Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số A. Phương pháp Khi tìm tập xác định của hàm số, ta cần chú ý: - Các hàm số  xác định trên . - Hàm số  xác định khi . Từ đó suy ra: + Hàm số  xác định khi . + Hàm số  xác định khi . - Hàm số  xác định khi . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Tìm tập xác định D của hàm số .     A. .                                                      B. .         C. .                               D. . Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi . Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn C. Ví dụ 1.2: Tìm tập xác định của hàm số .     A. .                        B. .     C. .                                                      D. . Lời giải: Hàm số xác định . Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn B. Ví dụ 1.3: Tìm tập xác định của hàm số .     A. .                  B. .     C. .                     D. . Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi. Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn A. Ví dụ 1.4: Tìm tập xác định của hàm số .     A. .                               B. .     C. .               D. . Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi  . Biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi kết hợp điều kiện ta được: . Chọn B. Ví dụ 1.5: Tìm tập xác định của hàm số      A. .             B. .     C. .              D. . Lời giải: Do  nên hàm số có nghĩa  . Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn A. Ví dụ 1.6: Tìm tập xác định của hàm số .     A. .                                    B. .     C. .               D. . Lời giải: Hàm số xác định . Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn B. Ví dụ 1.7: Hàm số nào sau đây có tập xác đinh là .     A. .                                                 B. .         C. .                                                       D. . Lời giải: + Hàm số  có tập xác định . + Hàm số  có tập xác định . + Hàm số  có tập xác định là . + Hàm số : ta có  nên . Vậy tập xác định của hàm số  là . Chọn D. Ví dụ 1.8: Tất cả các giá trị thực của tham số  để hàm số  xác định trên  là     A. .                 B. .                    C. .                    D. . Lời giải: Cách 1: Hàm số  xác định trên  . Cách 2: Chọn  không xác định trên  do . Loại B, D. Chọn  xác định trên  do . Chọn A. Dạng 2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số A. Phương pháp Để xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm tập xác định  của hàm số, khi đó: + Nếu  là tập đối xứng (tức là ), ta thực hiện tiếp bước 2. + Nếu  không là tập đối xứng (tức là  mà ), ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định , khi đó: + Nếu  kết luận là hàm số chẵn. + Nếu  kết luận là hàm số lẻ. + Nếu , kết luận là hàm số không chẵn cũng không lẻ. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1: Hàm số  là     A. Hàm số lẻ.                                            B. Hàm số không tuần hoàn.     C. Hàm số chẵn.                                        D. Hàm số không chẵn không lẻ. Lời giải: Xét hàm số . Tập xác định: . Do đó . Ta có . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Chọn C. Ví dụ 2.2: Cho hai hàm số . Chọn khẳng định đúng.     A.  là hàm số lẻ,  là hàm số chẵn.     B.  là hàm số chẵn,  là hàm số lẻ.     C.  không có tính chất chẵn lẻ,  là hàm số lẻ.     D.  đều là hàm số lẻ. Lời giải: Hàm số  có tập xác định . Do đó . Ta có . Do đó  không có tính chẵn lẻ. Hàm số  là hàm số lẻ. Chọn C. Ví dụ 2.3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?     A. .    B. .    C. .    D. . Lời giải: Tất cả các hàm số đều có tập xác định . Do đó . Ta sẽ kiểm tra  hoặc . + Với . Ta có: . . Suy ra hàm số  là hàm số lẻ. + Với . Ta có . Suy ra hàm số  là hàm số không chẵn không lẻ. + Với . Ta có . Suy ra hàm số  là hàm số chẵn. + Với . Ta có . Suy ra hàm số  là hàm số lẻ. Chọn C. Dạng 3.Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác A. Phương pháp - Hàm số  và hàm số  với  tuần hoàn với chu kì: . - Hàm số  và  với  tuần hoàn với chu kì: . - Hàm số  tuần hoàn trên tập  có các chu kì lần lượt là  và  với . Khi đó  cũng tuần hoàn trên . - Hàm số  tuần hoàn với chu kì  là . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 3.1: Tìm chu kì  của hàm số .     A. .                   B. .                     C. .                    D. . Lời giải: Hàm số  tuần hoàn với chu kì: . Chọn A. Ví dụ 3.2: Tìm chu kì  của hàm số .     A. .                  B. .                    C. .                D. . Lời giải: Hàm số  có chu kì tuần hoàn là . Chọn A. Ví dụ 3.3: Chu kì tuần hoàn của hàm số  là     A. .                  B. .                    C. .                     D. . Lời giải: Ta có:  có chu kì tuần hoàn là . Chọn A. Ví dụ 3.4: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số .     A. .                  B. .                      C. .                    D. . Lời giải: Do hàm số  tuần hoàn với chu kì  và hàm số  tuần hoàn với chu kì . Do đó hàm số  tuần hoàn với chu kì . Chọn D. Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác A. Phương pháp - Hàm số  đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng . Tức là hàm số  đồng biến khi  thuộc góc phần tư thứ  và nghịch biến khi  thuộc góc phần tư thứ . - Hàm số  đồng biến trên mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng . Tức là hàm số  đồng biến khi  thuộc góc phần tư thứ  và nghịch biến khi thuộc góc phần tư thứ . - Hàm số  đồng biến trên mỗi khoảng  với . - Hàm số  nghịch biến trên mỗi khoảng  với . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 4.1: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng?     A. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .     B. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .     C. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .     D. Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng . Lời giải: Hàm số  đồng biến khi  thuộc góc phần tư thứ  và nghịch biến khi  thuộc góc phần tư thứ .Chọn D. Ví dụ 4.2: Với , mệnh đề nào sau đây là đúng?     A. Hàm số  nghịch biến.              B. Hàm số  nghịch biến.     C. Hàm số  đồng biến.                 D. Hàm số  nghịch biến. Lời giải: Ta có  thuộc góc phần tư thứ  và thứ . Do đó hàm số  đồng biến. Chọn C. Ví dụ 4.3: Với , mệnh đề nào sau đây là đúng?     A. Cả hai hàm số  và  đều nghịch biến.     B. Cả hai hàm số  và  đều đồng biến.     C. Hàm số  nghịch biến, hàm số  đồng biến.     D. Hàm số  đồng biến, hàm số  nghịch biến. Lời giải: Ta có  thuộc góc phần tư thứ . Do đó: + Hàm số  đồng biến, suy ra nghịch biến. + Hàm số  nghịch biến, suy ra  nghịch biến. Chọn A. Dạng 5. Đồ thị của hàm số lượng giác A. Phương pháp - Khi xác định hàm số lượng giác có đồ thị cho trước, ta cần chú ý đến các yếu tố sau: + Các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua. + Xác định chu kì của đồ thị hàm số thông qua đồ thị. - Phép tịnh tiến đồ thị: Cho  là đồ thị của hàm số  và , ta có: + Tịnh tiến  lên trên  đơn vị thì được đồ thị của hàm số . + Tịnh tiến  xuống dưới  đơn vị thì được đồ thị của hàm số . + Tịnh tiến  sang trái  đơn vị thì được đồ thị của hàm số . + Tịnh tiến  sang phải  đơn vị thì được đồ thị của hàm số . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 5.1: Đồ thị hàm số  được suy từ đồ thị  của hàm số  bằng cách:     A. Tịnh tiến  qua trái một đoạn có độ dài là .     B. Tịnh tiến  qua phải một đoạn có độ dài là .     C. Tịnh tiến  lên trên một đoạn có độ dài là .     D. Tịnh tiến  xuống dưới một đoạn có độ dài là . Lời giải: Đồ thị hàm số  được suy từ đồ thị  của hàm số  bằng cách tịnh tiến qua phải một đoạn có độ dài là . Chọn B. Ví dụ 5.2: Hình vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây?     A. .                 B. .                   C. .                     D. . Lời giải: + Chu kì tuần hoàn:  nên loại đáp án B và D. + Đồ thị hàm số đi qua điểm  nên chọn đáp án A. Chọn A. Ví dụ 5.3: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây? A. .        B. .        C. .             D. . Lời giải: Đồ thị hàm số đi qua điểm  nên loại đáp án C và D. Tại  thì . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B. Dạng 6. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác A. Phương pháp Cho hàm số  xác định trên tập . . . Chú ý: + . + . + Hàm số  (tương tự với hàm  thì tim min, max theo hàm bậc hai. + Với hàm số  ta có: . + Hàm số có dạng  ta tìm tập xác định. Đưa về dạng: . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 6.1: Tìm giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất  của hàm số .     A. .    B. .    C. .    D. . Lời giải: Ta có . . Vậy . Chọn A. Ví dụ 6.2: Tập giá trị của hàm số  là     A. .                  B. .                 C. .                D. . Lời giải: Ta có  . Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là . Chọn D. Ví dụ 6.3: Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  là     A. .                           B. .                           C. .                              D. . Lời giải: Ta có: . Vì  . Vậy . Chọn C. Ví dụ 6.4: Tập giá trị của hàm số  là     A. .                                           B. .         C. .                      D. . Lời giải: Ta có . Tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của  để phương trình  có nghiệm. . Vậy tập giá trị của hàm số là . Chọn A. Ví dụ 6.5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi : .     A. .                     B. .                     C. .                      D. . Lời giải: Đặt . Khi đó: . Do . Suy ra yêu cầu bài toán . Chọn B. Ví dụ 6.5: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ  của năm 2017 được cho bởi một hàm số  với  và . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?     A. 28 tháng 5.              B. 29 tháng 5.                  C. 30 tháng 5.                  D. 31 tháng 5. Lời giải: Vì . Này có ánh sáng mặt trời nhiều nhất .                                                       . Do . Mà . Do đó vào ngày 29 tháng 5 thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (vì năm 2017 không phải năm nhuận nên tháng 1 và tháng 3 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày và tháng 4 có 30 ngày). Chọn B.