I. Phương pháp qui nạp toán học Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N*. Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*. Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây) • Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1. (*) • Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sử A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1. Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p. Ví dụ: Chứng minh rằng: n7-n chia hết cho 7 với mọi n ∈ N* Lời giải: Đặt An=n7-n. Khi n = 1 thì A1=0⋮7 Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là Ak=(k7-k)⋮7. Ta phải chứng minh, mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: Ak+1=(k+1)7-(k+1)⋮7 Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có: Ak+1=(k+1)7-(k+1)=k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1=k7-k+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k) Theo giả thiết quy nạp Ak=(k7-k)⋮7    ⇒Ak+1⋮7 Vậy mệnh đề đã cho đúng II. Dãy số 1. Định nghĩa : Dãy số (un) là một ánh xạ từ N* vào R:                 f: N* → R  Khi đó, ta có un = f(n). Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, ... , un, ... 2. Cách xác định một dãy số Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách: Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un.  Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là: • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) • Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó. 3. Dãy số đơn điệu Định nghĩa 1:     (Dãy số tăng): Dãy số (un) được gọi là tăng nếu ∀n ∈ N*, un < un + 1.  Định nghĩa 2:    (Dãy số giảm): Dãy số (un) được gọi là giảm nếu ∀n ∈ N*, un > un + 1.  4. Dãy số bị chặn Định nghĩa 3:    (Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N* Định nghĩa 4 :    (Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N* Định nghĩa 5:    (Dãy số bị chặn): Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:             ∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* 5. Các dạng bài tập Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số. Phương pháp giải: Thay n vào công thức  hoặc hệ thức truy hồi. Ví dụ 1: Cho dãy số  với . Tìm số hạng  . Lời giải: Ví dụ 2: Cho dãy số .Tìm số hạng . Lời giải: Ta có:   Dạng 2*: Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi Phương pháp giải: – Tính thử các số hạng đầu, dự đoán  . – Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học. Ví dụ 3: Cho dãy số  xác định bởi:  . Tìm số hạng tổng quát . Lời giải: Ta có:  Ta dự đoán  (1) Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp. + Với n = 1, ta có: ⇒ (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng với n = k (k > 1), tức là: . + Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là: . Thật vậy,  ⇒ (1) đúng với n = k + 1. Vậy (1) là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của dãy số. Phương pháp giải: +  là dãy số tăng  . +  là dãy số giảm + Để so sánh  và  ta có thể xét hiệu –  hoặc xét thương  . Ví dụ 4: Xét tính tăng giảm của dãy số :  Lời giải: Ta có:  Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.