ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM   A. Lí thuyết cơ bản 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số  xác định trên  và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số  tại  được kí hiệu là y'(x0) hoặc f'(x0), tức là .  Chú ý: - Số gia đối số là:  - Số gia tương ứng của hàm số là: , khi đó . 2. Đạo hàm một bên Đạo hàm bên trái của hàm số  tại điểm , kí hiệu là  được định nghĩa là:   trong đó  được hiểu là  và . Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm , kí hiệu là  được định nghĩa là:  trong đó  được hiểu là  và . Nhận xét: Hàm có đạo hàm tại  và  đồng thời . 3. Đạo hàm trên một khoảng  Hàm số  có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc .  Hàm số  có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  đồng thời tồn tại đạo hàm trái  và đạo hàm phải  . 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí: Nếu hàm số  có đạo hàm tại  thì  liên tục tại . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm  nhưng hàm đó không có đạo hàm tại . Chẳng hạn: Xét hàm  liên tục tại  nhưng không liên tục tại điểm đó. Vì , còn. 5. Ý nghĩa của đạo hàm a) Ý nghĩa hình học: Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng  và một điểm cố định  trên , M là điểm di động trên . Khi đó là một cát tuyến của . Định nghĩa: Nếu cát tuyến  có vị trí giới hạn  khi điểm  di chuyển trên  và dần tới điểm  thì đường thẳng  được gọi là tiếp tuyến của đường cong  tại điểm . Điểm được gọi là tiếp điểm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số  xác định trên khoảng  và có đạo hàm tại, gọi  là đồ thị hàm số đó. Định lí 1: Đạo hàm của hàm số  tại điểm  là hệ số góc của tiếp tuyến  của  tại điểm  Phương trình của tiếp tuyến: Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  của hàm số  tại điểm  là: b) Ý nghĩa vật lí:  Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:, với  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  là đạo hàm của hàm số  tại . Cường độ tức thời: Điện lượng  truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:, với  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số  tại . B. Bài tập Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa A. Phương pháp            Hàm số  có đạo hàm tại điểm   Hàm số  có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1.  tại                                       2.  tại 3.  tại  Lời giải: 1. Ta có . 2. Ta có :                          . 3. Ta có, do đó: Vậy. Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số  liên tục tại  nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Lời giải: Vì hàm  xác định tại  nên nó liên tục tại đó. Ta có:   không có đạo hàm tại . Ví dụ 1.3: Tìm  để hàm số  có đạo hàm tại  Lời giải: Để hàm số có đạo hàm tại  thì trước hết  phải liên tục tại  Hay . Khi đó, ta có:. Vậy  là giá trị cần tìm. Dạng 2.Tiếp tuyến Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm A. Phương pháp Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): tại tiếp điểm M có dạng: Áp dụng trong các trường hợp sau: B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Cho hàm số  có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm  ;                               2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;                    4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; Lời giải: Hàm số đã cho xác định . Ta có:  1. Phương trình tiếp tuyến tại  có phương trình :  Ta có: , khi đó phương trình  là:  2. Thay  vào đồ thị của (C)  ta được . Tương tự câu 1, phương trình  là:  3. Thay  vào đồ thị của (C)  ta được  hoặc . Tương tự câu 1, phương trình  là: ,  4. Trục tung Oy : .Tương tự câu 1, phương trình  là:  Ví dụ 1.2: Cho hàm số  (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ  đi qua điểm . Lời giải: Tập xác định  Với  Phương trình tiếp tuyến tại điểm  Ta có  Ví dụ 1.3: Cho hàm số  (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm . Lời giải: Tập xác định . Có . Phương trình tiếp tuyến  tại điểm :  Gọi A là giao điểm của d và trục hoành , vậy  Gọi B là giao điểm của d và trục tung , vậy  Ta có tam giác OAB vuông tại O nên . Nhận xét: Viết PTTT Δ của , biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước + Gọi  là tiếp điểm và tính hệ số góc  theo . +  vuông cân  tạo với  một góc  và      (i)                          (ii) + Giải (i) hoặc (ii)  phương trình tiếp tuyến Δ. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc A. Phương pháp Viết PTTT Δ của , biết Δ có hệ số góc k cho trước – Gọi  là tiếp điểm. Tính  – Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k      (i) – Giải (i) tìm được  Lưu ý: Hệ số góc  của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau: – Phương trình tiếp tuyến  – Phương trình tiếp tuyến  – Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc  – Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với  góc . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Cho đường cong . a). Viết phương trình tiếp tuyến của  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  b). Viết phương trình tiếp tuyến của  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  c). Viết phương trình tiếp tuyến của  biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng:  một góc 30°. Lời giải: Tập xác định . Ta có:  a). Có  Vì tiếp tuyến song song với d nên  Gọi  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có                    Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:                    (loại, vì trùng với d) Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:                   . b).  Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên  Gọi  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có                   . Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là                    Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là                   . c).  Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có  Ví dụ 2: Gọi  là đồ thị của hàm số  (*) (m là tham số). Gọi M là điểm thuộc  có hoành độ bằng . Tìm m để tiếp tuyến của  tại điểm Msong song với đường thẳng . Lời giải: Tập xác định . Ta có  Điểm thuộc  có hoành độ  là  Phương trình tiếp tuyến của  tại M là: Để Δ song song với  khi và chỉ khi:  Kết luận . Ví dụ 3: Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Lời giải: Ta có  Gọi  là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy  Ta có  Vậy  tại  Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:  Ví dụ 4: Cho hàm số  (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Lời giải: Tập xác định . Ta có  Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°. Vậy có  Gọi  là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có  Với  (phương trình vô nghiệm) Với  Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác. Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này    Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A. Phương pháp Viết PTTT Δ của , biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm  – Gọi  là tiếp điểm. Tính  và  theo . – Phương trình tiếp tuyến Δ tại  là  – Do      (i) – Giải phương trình (i)  và  phương trình Δ. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của  biết tiếp tuyến đi qua điểm  Lời giải: Gọi  là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A Vì điểm , và  Phương trình d:  Vì  nên  Với , phương trình tiếp tuyến  Với , phương trình tiếp tuyến  Ví dụ 2: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua  của đồ thị . Lời giải: Tập xác định . Ta có  Gọi  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến  cần tìm với đồ thị hàm số  nên  và . Phương trình tiếp tuyến : Ta có  Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là  và