VECTO TRONG KHÔNG GIAN   A. Lý thuyết cơ bản 1. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian Định nghĩa: Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu  chỉ vecto có điểm đầu , điểm cuối . Các khái niệm có liên quan đến vecto như: giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của hai vecto, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Vecto đối: Với mọi hai điểm  cho trước ta luôn có: . Phép cộng vecto: Cho trước hai điểm . Với mọi các điểm  ta luôn có hệ thức sau: . Phép trừ vecto: Cho trước hai điểm . Với mọi điểm  ta luôn có . Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành , khi đó . Quy tắc trung điểm: Cho hai điểm . Nếu  là trung điểm của thì ta có hệ thức . Quy tắc trọng tâm: Cho ,  là trọng tâm, ta có: .   ( bất kì) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp  có ba cạnh xuất phát từ đỉnh  là  và có đường chéo là . Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: . 2. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto Định nghĩa: Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng: Cho ba vectơ ,, trong đó  và  không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ ,, đồng phẳng là có duy nhất các số ,  sao cho . Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng: Nếu ba vectơ ,, không đồng phẳng thì với mỗi vectơ , ta tìm được duy nhất các số , ,  sao cho    B. Bài tập Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vecto A. Phương pháp Sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng Sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, … Chú ý: Hai tam giác  và  có cùng trọng tâm khi và chỉ khi . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Cho hình chóp  có đáy  là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng:     a) .             b). Lời giải:   a) Gọi  là tâm của hình chữ nhật. Vì  nên             (1)     Vì  nên     (2)     Từ (1) và (2) ta có: . b) Ta có: .     Mà  nên .     Tương tự có: .     Vì  là hình chữ nhật nên ta có:     .     Từ đó suy ra . Ví dụ 1.2: Cho tứ diện  Gọi  lần lượt là trung điểm của  và  là trung điểm của  và  là trọng tâm của tam giác  Chứng minh các hệ thức sau:     a) .          b) .     c) .         d)      e) . Lời giải:     a)      Sử dụng quy tắc cộng vectơ ta có:     .     b)      Chứng minh       Vì      Chứng minh      Chứng minh tương tự hoặc sử dụng kết quả câu a.     c)      Theo quy tắc trung điểm trong  ta có:          d)      Ta có:  .     Vì .     e)      Sử dụng quy tắc trung điểm cho  ta được      Gọi  là điểm đối xứng của  qua , khi đó  với  là trung điểm của      Xét trong tam giác  có  và  là các đường trung tuyến, giả sử  thì  là trọng tâm tam giác      Khi đó,      Mà    Dạng 2. Chứng minh ba vecto đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng A. Phương pháp Để chứng minh ba vecto  đồng phẳng ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau: Chứng minh giá của ba vecto  cùng song song với một mặt phẳng. Phân tích  trong đó  là hai vecto không cùng phương. Để chứng minh bốn điểm  đồng phẳng ta có thể chứng minh ba vecto  đồng phẳng. Ngoài ra có thể dùng kết quả quen thuộc sau: Điều kiện cần và đủ để điểm  là với mọi điểm  bất kì ta luôn có: , trong đó . Để phân tích một vecto  theo ba vecto  không đồng phẳng, ta tìm các số  sao cho . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1: Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành tâm  Hãy phân tích các vectơ  theo  Lời giải: Phân tích :     Ta có  Phân tích :     Ta có  Phân tích : Ta có  Phân tích : Ta có  Ví dụ 2.2: Cho tứ diện, gọivàtheo thứ tự là trung điểm của.Chứng minh ba vectơ  đồng phẳng. Lời giải: Nhận xét: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng ta đi kiểm tra xem có đẳng thức vectơ nào liên quan đến 3 vectơ trên hay không. Bằng trực quan hình học, ta thấy MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ vectơ  theo hai hướng  và. Ta có: Từ đó ta có:,tức là đồng phẳng. Ví dụ 2.3: Cho hình chóp tam giác. Trên đoạn lấysao cho và trên đoạn  lấy  sao cho. Chứng minh rằng ba vectơ  đồng phẳng. Lời giải: Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích theo hai hướng Ta có: Nhân cả hai vế của  với 2 rồi cộng với  ta được: Từ giả thiết: Vậy đồng phẳng.