ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN   A. Lý thuyết cơ bản 1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng * Cho hàm số  liên tục và không âm trên đoạn . Khi đó diện tích  của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng  và * Cho hàm số  liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích hình phẳng  giới hạn bởi: đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng  là . * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  và hai đường thẳng . Được xác định bởi công thức . Chú ý: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: - Giải phương trình  tìm nghiệm  (). - Tính . Ngoài ra, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích Thể tích vật thể: Cắt một vật thể  bởi hai mặt phẳng  và  vuông góc với trục  lần lượt tại . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với  tại điểm  cắt  theo thiết diện có diện tích là . Giả sử  liên tục trên đoạn . Khi đó thể tích  của  là . Thể tích khối tròn xoay: - Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục  và hai đường thẳng  quay xung quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích  là . - Khối tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng  bị giới hạn bởi các đường ,  quay quanh  có thể tích là . - Khối tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng  bị giới hạn bởi các đường , trục và hai đường thẳng  quay quanh  có thể tích là . 3. Ứng dụng cua tích phân trong chuyển động - Một chất điểm chuyển động theo phương trình .   Vận tốc của chất điểm là .   Gia tốc của chất điểm là . - Vận tốc của chất điểm tại thời điểm  tính theo vận tốc của vật tại thời điểm  là . - Quãng đường vật đi được từ thời điểm  đến thời điểm  là B. Bài tập Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  và trục hoành. Phương pháp Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân  . Ví dụ 1.1.1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A.                              B.  C.         D.    Lời giải: Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn thành hai đoạn thành phần , ta có kết quả:   chọn đáp án C. Ví dụ 1.1.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và là     A. .                     B. .                     C. .                       D. . Lời giải: Bảng xét dấu:                                         . Chọn đáp án B. Ví dụ 1.1.3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và  là     A. 1.                    B. .                      C. .                        D. . Lời giải: Do  nên . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.1.4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , là     A. .                  B. .                      C. .                          D. . Lời giải: Vì  nên diện tích hình phẳng cần tìm là . Đặt . Đổi cận: Với  ta được . Với  ta được . Khi đó. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.1.5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng  là     A. .                                  B. .         C. .                                  D. . Lời giải: . Bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu, ta có . Vậy diện tích cần tính là                 Chọn đáp án C. Ví dụ 1.1.6: Cho hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.     A. .                     B. .                     C. .                     D. . Lời giải: Trục tung có phương trình .      . Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu ta có. Vậy diện tích cần tính là Ví dụ 1.1.7: Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng  đạt giá trị nhỏ nhất.     A. .                      B. .                      C. .                    D. . Lời giải: Diện tích hình hình phẳng đó là Chọn đáp án A. Bài toán 1.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Phương pháp Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số  trên đoạn . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân . Ví dụ 1.2.1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?      A.            B.       C.       D.  Lời giải: Hình phẳng đối xứng qua Oy nên  Chọn B. Ví dụ 1.2.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ,  là     A. .                        B. 4.                        C. .                        D. 3. Lời giải: Đặt  ta đi xét dấu . Ta có  Bảng xét dấu: Vậy diện tích hình phẳng đã cho là Chọn đáp án B. Chú ý: Nếu hàm số  không đổi dấu trên  (tức là  không còn nghiệm nào trên ) thì  do đó ta có thể bỏ qua bước lập bảng xét dấu, và làm trực tiếp như sau:                       Ví dụ 1.2.3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số  và hai đường thẳng  là     A. 7.                         B. .                      C. .                          D. . Lời giải: Đặt.        Vậy diện tích cần tính là                     . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2.4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  là     A. 6.                       B. .                       C. .                         D. . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm . Diện tích cần tính là                     Chọn đáp án B. Ví dụ 1.2.5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  và đường thẳng  là     A. .             B. .              C. .                 D. . Lời giải: +) Xét phương trình . + Diện tích cần tìm là:                 . Chọn đáp án A. Nhận xét: Nếu giả thiết cho thiếu 2 hai đường thẳng  hoặc thiếu 1 trong 2 đường thẳng đó (tức là thiếu cận tích phân) thì ta phải giải phương trình hoành độ giao điểm  để tìm cận của tích phân. Ví dụ 1.2.6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  và  là     A. .             B. .                  C. .                D. . Lời giải: Ta có . Tung độ giao điểm của  và  là nghiệm của phương trình: . Diện tích hình phẳng cần tìm là         Chọn đáp án B. Nhận xét: Nếu việc rút  theo  gặp khó khăn (hay biểu thức của hàm  phức tạp) thì ta có thể nghĩ đến cách rút  theo  để đưa về bài toán “Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đồ thị hàm số “. Ví dụ 1.2.7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  và  là     A. .             B. .                   C. .                   D. . Lời giải: Ta có . . Tung độ giao điểm của  và  là nghiệm của phương trình:            Diện tích hình phẳng cần tìm là:         . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.2.8: Diện tích của hình tròn  là     A. .          B. .           C. .             D. . Lời giải: Phương trình của  trong góc phần tư thứ  là . Gọi  là diện tích cần tìm. Ta có:              .             Đặt .     Đổi cận: . Khi đó:                         Chọn đáp án A. Chú ý: Dựa vào tính chất đối xứng của đường tròn tâm  giúp ta có lời giải đơn giản hơn. Ví dụ 1.2.9: Tính diện tích của hình .     A. .            B. .                C. .            D. . Lời giải: Phương trình của  trong góc phần tư thứ nhất là:                               Gọi  là diện tích cần tìm. Ta có:                     . Đặt . Đổi cận: . Khi đó .               . Chọn đáp án D. Ví dụ 1.2.10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  và  là     A. .             B. .                C. .                   D. . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm . Diện tích hình phẳng cần tìm là              Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2.11: Miền diện tích được gạch chéo trong hình bên được giới hạn bởi các đường cong và có diện tích lần lượt là     A. .          B. .     C. .            D. . Lời giải: Vì đường cong giao với trục  tại 3 điểm nên đường cong là đồ thị của hàm số . Vì đường cong  giao với đường thẳng tại điểm có hoành độ  nên đường thẳng là đồ thị của hàm số . Phương trình hoành độ giao điểm là . Diện tích miền gạch chéo là     Chọn đáp án A. Bài toán 1.3: Tính diện tích hình phẳng    giới hạn bởi                            - Tìm hoành độ giao điểm:     + Giải phương trình .              + Giải phương trình .     + Giải phương trình . - Tính . Ví dụ 1.3.1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  và 2 đường tiếp tuyến của   tại  và  là     A. .                   B. .                    C. .                    D. . Lời giải: Ta có . Phương trình tiếp tuyến tại  là: . Phương trình tiếp tuyến tại  là: . Hoành độ giao điểm của  và  là nghiệm của phương trình . Nhìn vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng cần tìm là               Chọn đáp án D. Chú ý: Ở bài này ta cần nhớ lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  là . Ví dụ 1.3.2 (Sở GD Hải Dương 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số .     A. .            B. .              C. .                 D. . Lời giải: Tìm giao điểm giữa các đồ thị: ; ; . Vậy diện tích . Chọn đáp án B.   Dạng 2. Tính thể tích khối tròn xoay Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường  và quay quanh Oy.     A. .              B. .               C. .                 D. .      Lời giải: Xét phương trình .                            Vậy  (đvtt). Chọn đáp án C. Ví dụ 2.2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn  quay quanh Ox.     A. .            B. .                 C. .               D. . Lời giải: Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là: . Phương trình . . Vậy  (đvtt). Chọn đáp án A. Ví dụ 2.3: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường  và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.     A. .                    B. .                       C. .                        D. . Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng  và trục hoành: . Khi đó      (*) Tính . Đặt . Suy ra      (1) Tính . Đặt . Suy ra      (2) Thay (2) vào (1) ta được:          (3) Thay (3) vào (*) ta được:  (đvtt). Chọn đáp án B. Ví dụ 2.4:Tính thể tích khối tròn xoay do elipse  quanh quanh Oy.     A. .          B. .              C. .             D. . Lời giải: Tung độ giao điểm của (E) và Oy là .           .       . Vậy  (đvtt). Chọn đáp án B. Ví dụ 2.5 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H)quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số  và trục hoành.     A. .                     B. .                          C. .                          D. . Lời giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm:              . Từ đó ta có thể tích hình (H) cần tìm là            (đvtt). Chọn C. Ví dụ 2.6 (THPT Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng , cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ  ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bẳng . Tính thể tích của phần vật thể B.     A. .                 B. .                 C. .               D. . Lời giải: . Chọn B. Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?     A. .                  B. .                       C. .                       D. . Lời giải: Thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với . Thời điểm ô tô dừng lại ứng với , khi đó . Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là Chọn C. Ví dụ 3.2: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là  với  (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và  là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là . Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.     A. .                  B. .                    C. .                    D. . Lời giải: Vận tốc của con cá là . Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là . Quãng đường con cá bơi được trong khoảng thời gian  kể từ lúc bắt đầu là Với  và . Chọn đáp án B.   Ví dụ 3.3: Gọi (H) là phần giao của hai khối  hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của (H).     A. .                             B. .     C. .                              D. . Lời giải: Đặt trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao (H) là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a, thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích . Thể tích khối (H) là . Chọn đáp án A.   Ví dụ 3.4: Gọi h(t) (m) là mức nước ở bể chứa sau khi bơm nước được t phút. Biết  và lúc đầu bể không có nước. Tính mức nước ở bể khi bơm nước được 37 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).     A. h = 5,47 m.           B. H = 7,29 m.          C. H = 7,30 m.              D. h = 5,46 m. Lời giải: . Do ban đầu bể không chứa nước nên ta có: . Mức nước sau khi bơm được 37 phút là . Chọn A.