A. Lý thuyết cơ bản: 1. Định nghĩa + Mặt cầu: . + Khối cầu: .     2. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu  và mặt phẳng . Gọi .         · Nếu  thì  cắt  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên, có tâm  và bán kính .         · Nếu  thì  tiếp xúc với  tại tiếp điểm. ((P) được gọi là tiếp diện của ).         · Nếu  thì  và  không có điểm chung.         Khi  thì  đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng  được gọi là đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu  và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).         · Nếu  thì D cắt  tại 2 điểm phân biệt.         · Nếu  thì D tiếp xúc với . (D được gọi tiếp tuyến của (S)).         · Nếu  thì D và  không có điểm chung. 4. Công thức tính diện tích, thể tích: Diện tích mặt cầu: . Thể tích khối cầu:    . 5. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Các trường hợp đặc biệt: Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng Phương pháp Xác định tâm  của hai đáy. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm của . . Chú ý: Hình lăng trụ nội tiếp được trong một mặt cầu khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác nội tiếp. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: – Tâm là trung điểm của AC’. – Bán kính  Khi ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương: .       Ví dụ 1.1 (THPT Chuyên Lê hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương  cạnh .     A. .                        B. .                        C. .                        D. . Lời giải: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương  là . Thể tích cần tìm là . Chọn đáp án B. Ví dụ 1.2 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Lần 1 số tháng 10.2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều  có các cạnh đều bằng . Tính diện tích  của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.     A. .                  B. .                     C. .               D. . Lời giải: Gọi  và  lần lượt là tâm của  và .  Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm  của . . Gọi  là trung điểm của . Do  đều nên . . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là . Vậy diện tích mặt cầu là . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.3 (Chuyên Vinh 2017 Lần 2) Cho lăng trụ đứng  có . Cạnh bên . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  bằng:     A. .                               B. .                          C. .                         D. . Lời giải: Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khôi lăng trụ đứng đã cho. Gọi  là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng qua  vuông góc với  cắt mặt phẳng trung trực của  tại . Khi đó  là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Mặt khác . Áp dụng định lí sin trong tam giác  ta có . Do đó . Chọn đáp án B. Nhận xét: Mặt cầu đi qua  điểm thì cũng đi qua  điểm còn lại (với ). Ví dụ 1.4: Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm  bán kính , hình hộp có thể tích lớn nhất bằng     A. .                          B. .                       C. .                         D. . Lời giải: Giả sử hình hộp  nội tiếp mặt cầu tâm  bán kính . Do tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu luôn là hình hộp chữ nhật. Do đó đặt 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là . Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật là . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có           Chọn đáp án B. Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Phương pháp: Cách 1 (Nhận biết): Nếu  đỉnh của đa diện nhìn 2 đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. -  Tìm tâm O của đáy. + Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyến. + Tam giác vuông: Trung điểm của cạnh huyền. + Tam giác thường: Giao của 3 đường trung trực (ít gặp). + Hình vuông, hình chữ nhật: Giao điểm của 2 đường chéo. -  Dựng trục  là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy ( song song với chiều cao của hình chóp). -  Xác định mặt phẳng trung trực  của một cạnh bên. -  Giao điểm của  và  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Bài toán 2.1: Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông Ví dụ 2.1.3 (Sở GD Vĩnh Phúc 2017 Lần 2) Cho hình chóp  có ,  và . Gọi  lần lượt là hình chiếu của trên . Tính bán kính  của mặt cầu đi qua các điểm .     A. .                 B. .                      C. .                    D. . Lời giải: Gọi  là trung điểm của . Lại có .                (1) Theo giả thiết      (2) Ta có .          .      (3) Từ (1), (2), (3) suy ra các điểm  nội tiếp đường tròn tâm , bán kính . Chọn đáp án D. Ví dụ 2.1.4: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh , cạnh bên và . Mặt phẳng  qua  và vuông góc với  cắt các cạnh  lần lượt tại các điểm . Tính thể tích  của khối cầu ngoại tiếp tứ diện .     A. .                      B. .                       C. .                     D. . Lời giải: Ta có . . Tương tự . Lại có . Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của . . Chọn đáp án C. Ví dụ 2.1.5: Cho hình lăng trụ đứng  có  và. Gọi  là trung điểm của cạnh . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  bằng:     A. .                           B. .                              C. .                            D. . Lời giải:  có . Suy ra  vuông tại . Ta có . Suy ra 4 điểm  nằm trên mặt cầu ngoại tiếp Tứ diện  có tâm  là trung điểm  và bán kính . Bài toán 2.2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Trục của đáy song song với cạnh bên đó Hình chóp  có   tam giác  đều. .       Hình chóp  có , tam giác  vuông tại . .      Hình chóp  có ,   là hình vuông (hình chữ nhật)          .  Nhận xét: Hình chóp  có cạnh bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có công thức là: Trong đó  bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.               chiều cao của hình chóp. Ví dụ 2.2.1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 1) Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh , cạnh bên  và  vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .     A. .                  B. .                   C. .                  D. . Lời giải: Gọi  là trung điểm của cạnh . Do  đều nên tâm  của đáy cũng là giao điểm ba đường trung tuyến. . Dựng trục  của đáy là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm . Mà . Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn , cắt đường thẳng  tại . Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là . Chọn đáp án D. Ví dụ 2.2.2: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh ,  vuông góc với mặt đáy và . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .     A. .                       B. .                        C. .                          D. . Lời giải: Gọi  là trọng tâm của giác đều  và  là trung điểm của  và . . Gọi  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .  và  là hình chữ nhật. . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  là         . Chọn đáp án C. Ví dụ 2.2.3: Cho tứ diện  có đáy  là tam giác vuông tại , với . Hai mặt bên  và  cùng vuông góc với  và  hợp với đáy một góc . Thể tích khối cầu ngoại tiếp  là     A. .                 B. .            C. .              D. . Lời giải: Do  là tam giác vuông tại  nên tâm  của đáy là trung điểm của cạnh . Dựng trục  vuông góc với  tại .  . Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh , cắt  tại .  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. . . Bán kính mặt cầu là . Thể tích khối cầu ngoại tiếp  là . Cách 2: Ta có   vuông tại . Lại có  vuông tại . Do đó hai đỉnh  cùng nhìn cạnh  dưới một góc vuông, nên tâm  của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  là trung điểm của cạnh . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là . Thể tích khối cầu ngoại tiếp  là . Chọn đáp án D. Bài toán 2.3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy  Chiều cao của hình chóp là chiều cao của mặt bên đó. Ví dụ 2.3.1: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.     A. .                B. .                   C. .                  D. . Lời giải: Gọi  là trung điểm của . Vì  đều nên . Mà  là đường cao của hình chóp . Gọi  là trọng tâm của   là tâm đường tròn ngoại tiếp . Qua  kẻ đường thẳng  song song với . . Gọi  là trung điểm của , vì  vuông cân tại  là đường trung trực ứng với . Gọi  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Xét hai tam giác đều  có độ dài các cạnh bằng 1.  là trọng tâm . Xét  vuông tại , ta có . Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là . Chọn đáp án B. Ví dụ 2.3.2 (Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi cạnh , tam giác  đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .     A. .                      B. .                     C. .                     D. . Lời giải: Do  đều.  là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi  là trung điểm của ,  là trọng tâm của . Qua  kẻ  và qua  kẻ . Gọi . Ta có . Khi đó  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  có bán kính . Chọn đáp án C. Bài toán 2.4: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, hình chóp đều Ví dụ 2.4.1: Hình chóp  có  và có chiều cao . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .     A. .                       B. .                     C. .                     D. . Lời giải: Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  suy ra  Gọi  là trung điểm của cạnh . Trong tam giác  kẻ đường trung trực của cạnh  cắt cạnh  tại . Khi đó  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  có bán kính . Khi đó . Chọn B.   Ví dụ 2.4.2 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu ?     A. .        B. .           C. .             D. . Lời giải: Gọi cạnh đáy của hình chóp là . Gọi  là tâm của mặt cầu,  là tâm của ,  là hình chiếu vuông góc của  lên . , . Ta có  . Ta có . Chọn đáp án A. Chú ý: Có thể xét hàm số . Lập bảng biến thiên cũng có kết quả tương tự. Dạng 3: Một số bài toán khác về mặt cầu Lời giải: Gọi  và  là tâm hai hình tròn đáy của hình trụ, và xét thiết diện  đi qua trục của hình trụ như hình vẽ trên đây. Ta có . Diện tích xung quanh của hình trụ (theo bất đẳng thức ). Vậy . Chọn đáp án A. Lời giải: Đường cao của hình nón là . Chọn đáp án D. Lời giải: Giả sử hình lập phương  ngoại tiếp hình cầu tâm . Gọi  lần lượt là tâm của các hình vuông  và . Gọi  là độ dài cạnh của hình lập phương. Ta có . .  bán kính khối cầu là . Thể tích khối cầu là . Chọn đáp án C.