CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Lý thuyết I. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG   1. Góc ở tâm     · Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn đgl góc ở tâm.     · Nếu  thì cung nằm bên trong góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc đgl cung lớn.     · Nếu  thì mỗi cung là một nửa đường tròn.     · Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.     · Ki hiệu cung AB là . 2. Số đo cung     · Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ.     · Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.     · Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn).     · Số đo của nửa đường tròn bằng . Cung cả đường tròn có số đo .     Cung không có số đo (cung có 2 mút trùng nhau). 3. So sánh hai cung     Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:     · Hai cung đgl bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.     · Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đgl cung lớn hơn. 4. Định lí     Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ = sđ + sđ.   II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY   1. Định lí 1     Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:     a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.     b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2     Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:     a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.     b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung     a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.     b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.      Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.     c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.   III. GÓC NỘI TIẾP   1. Định nghĩa     Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.     Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn. 2. Định lí     Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả     Trong một đường tròn:     a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.     b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.     c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.     d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.   IV. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG   1. Định lí     Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 2. Hệ quả     Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 3. Định lí (bổ sung)     Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.   V. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN.   Định lí 1     Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2     Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.   VI. CUNG CHỨA GÓC   1. Quỹ tích cung chứa góc     Với đoạn thẳng AB và góc a () cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn  là hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB.     Chú ý:     · Hai cung chứa góc a nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.     · Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.     · Đặc biệt: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. 2. Cách vẽ cung chứa góc a     – Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.     – Vẽ tia Ax tạo với AB một góc a.     – Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.     – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.      được vẽ như trên là một cung chứa góc a. 3. Cách giải bài toán quỹ tích     Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:     – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.     – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.     – Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.   VII. TỨ GIÁC NỘI TIẾP   1. Định nghĩa     Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn đgl tứ giác nội tiếpđường tròn. 2. Định lí     · Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng .     · Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng  thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp     · Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.     · Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng  thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.     · Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D sao cho  thì tứ giác ABCD nội tiếp được. Chú ý: Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.   VIII. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP   1. Định nghĩa     a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn.     b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lí     Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.     Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và đgl tâm của đa giác đều.     Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc. Chú ý:          · Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.     · Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.     · Cho n_ giác đều cạnh a. Khi đó:         – Chu vi của đa giác:      (p là nửa chu vi).         – Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng     .         – Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng     .         – Bán kính đường tròn ngoại tiếp:      Þ .         – Bán kính đường tròn nội tiếp:      Þ .         – Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:    .         – Diện tích đa giác đều:    .   IX. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN   1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)     Độ dài C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức:                     hoặc        () 2. Công thức tính độ dài cung tròn     Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung  được tính theo công thức:                 .                        X. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN   1. Công thức tính diện tích hình tròn     Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức:     2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn     Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung  được tính theo công thức:                          hay         (l là độ dài cung  của hình quạt tròn).