Nguyên hàm - Khái niệm và các hàm cơ bản

A. Lý thuyết cơ bản

1. Khái niệm nguyên hàm

+ Hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ . Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x),\,\forall x\in K$ .

+ Kí hiệu: $\int{{f(x)dx=F(x)}}$ .

+ Với $C$ là một hằng số nào đó, ta luôn có $\text{ }\!\![\!\!\text{ }F(x)+C\text{ }\!\!]\!\!\text{ }'=F'(x)$ nên tổng quát hóa ta viết $\int{{f(x)dx=F(x)+C}}$ .

Khi đó $F(x)+C$ được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Với một giá trị cụ thể của $C$ thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho.

Ví dụ:

+ Hàm số $f(x)=3{{x}^{2}}$ có nguyên hàm là $F(x)={{x}^{3}}+C$ vì $({{x}^{3}}+C)'=3{{x}^{2}}$ .

+ Hàm số $f(x)=\cos x$ có nguyên hàm là $F(x)=\sin x+C$ vì $(\sin x+C)'=\cos x$ .

+ Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ .

2. Các tính chất của nguyên hàm

Cho các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng $F(x)$ và $G(x)$ , khi đó ta có các tính chất sau:

+ Tính chất 1: $\int{{f'(x)dx}}=f(x)+C$ .

+ Tính chất 2: $\int{{k.f(x)dx=k\int{{f(x)dx}}}},\,\,\forall k\ne 0$ .

+ Tính chất 3: $\int{{\text{ }\!\![\!\!\text{ }f(x)\pm g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }dx=\int{{f(x)dx\pm \int{{g(x)dx}}}}}}$ .

+ Tính chất 4: $\int{{f(x)dx=F(x)+C\,\,\Rightarrow \int{{f((x)).u'(x)dx}}=F(u(x))+C}}$ .

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

B. Bài tập

Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $\int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}$ .	b) $\int{{\left( {{{e}^{x}}-\frac{1}{x}+{{2}^{x}}} \right)dx}}$ .
c) $\int{{\frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}}}dx$ .	d) $\int{{\frac{{3{{{\sin }}^{2}}x-4{{{\cos }}^{2}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x{{{\cos }}^{2}}x}}dx}}$ .
e) $\int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}$ .	f) $\int{{(\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\sqrt[3]{x})dx}}$ .

Lời giải:

a) $\int{{(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1)dx}}=\int{{2{{x}^{3}}dx}}-\int{{3{{x}^{2}}dx}}+\int{{1dx}}=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+x+C$ .

b) $\int{{\left( {{{e}^{x}}-\frac{1}{x}+{{2}^{x}}} \right)dx=\int{{{{e}^{x}}dx}}-\int{{\frac{1}{x}dx}}+\int{{{{2}^{x}}dx}}}}={{e}^{x}}-\ln |x|+\frac{{{{2}^{x}}}}{{\ln 2}}+C$ .

c) $\int{{\frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{x}dx=\int{{\left( {x-3+\frac{1}{x}} \right)dx=\int{{xdx}}-\int{{3dx}}+\int{{\frac{1}{x}dx}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+\ln |x|+C}}}}$ .

d) $\int{{\frac{{3{{{\sin }}^{2}}x-4{{{\cos }}^{2}}x}}{{{{{\sin }}^{2}}x{{{\cos }}^{2}}x}}dx=\int{{\left( {\frac{3}{{{{{\cos }}^{2}}x}}-\frac{4}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} \right)dx}}}}$

$=2\int{{\frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}x}}dx-4\int{{\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}}dx}}=3\tan }}x+4\cot x+C$ .

e) $\int{{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)dx}}=\int{{({{x}^{3}}+8)dx}}=\frac{{{{x}^{4}}}}{4}+8x+C$ .

f) $\int{{(\frac{1}{{\sqrt{x}}}+\sqrt[3]{x})dx}}=\int{{\frac{1}{{\sqrt{x}}}dx}}+\int{{\sqrt[3]{x}}}dx=\int{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}dx}}+\int{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}dx=2{{x}^{{\frac{1}{2}}}}+\frac{3}{4}{{x}^{{\frac{4}{3}}}}+C$ .

Ví dụ 1.2: Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ , biết $F(-1)=3$ .

Lời giải:

Ta có $\int{{f(x)dx}}=\int{{(4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2)dx}}={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C$ .

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên có dạng $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+C$ .

Mà $F(-1)=3\Rightarrow C=3$ . Do đó $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2x+3$ .

Ví dụ 1.3: Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{x}$ thỏa mãn $F(1)=-1$ . Tìm $x$ để $2F(x)=\frac{1}{{F(x)+1}}-1$ .

Lời giải:

Ta có $\int{{f(x)dx}}=\int{{\frac{1}{x}dx}}=\ln |x|+C$ .

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên có dạng $F(x)=\ln |x|+C$ .

Mặt khác $F(1)=-1\Rightarrow C=-1$ . Do đó $F(x)=\ln |x|-1$ .

Khi đó $2F(x)=\frac{1}{{F(x)+1}}-1\Leftrightarrow 2(\ln |x|-1)=\frac{1}{{\ln |x|}}-1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ln |x|\ne 0\\2{{\ln }^{2}}|x|-\ln |x|-1=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln |x|=1\\\ln |x|=-\frac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\pm e\\x=\pm \frac{1}{{\sqrt{e}}}\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy $x=\pm e$ hoặc $x=\pm \frac{1}{{\sqrt{e}}}$ .

Ví dụ 1.4: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $F(x)=m{{x}^{3}}+(3m+2){{x}^{2}}-4x+3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3{{x}^{2}}+10x-4$ .

A. $m=3$ .

B. $m=0$ .

C. $m=1$ .

D. $m=2$ .

Lời giải:

Cách 1:

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$

$\Leftrightarrow F'(x)=f(x)\Leftrightarrow 3m{{x}^{2}}+2(3m+2)x-4=3{{x}^{2}}+10x-4$

Đồng nhất hệ số $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m=3\\2(3m+2)=10\end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$ .

Cách 2:

Ta có $\int{{(3{{x}^{2}}+10x-4)}}dx={{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-4x$ .

Đồng nhất hệ số suy ra $m=1$ .

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp vi phân

Phương pháp:

Định nghĩa: Vi phân của hàm số $y=f(x)$ là biểu thức $f'(x)dx$ . Kí hiệu $dy$ hay $d(f(x))$ là vi phân của $y$ hay $f(x)$ .

$dy=f'(x)dx$ hay $d(f(x))=f'(x).dx$ .

Các vi phân quan trọng:

1. $xdx=\frac{1}{2}d({{x}^{2}})=\frac{1}{2}d({{x}^{2}}\pm a)=-\frac{1}{2}d(a-{{x}^{2}})$ .

2. ${{x}^{2}}dx=\frac{1}{3}d({{x}^{3}})=\frac{1}{3}d({{x}^{3}}\pm a)=\frac{{-1}}{3}d(a-{{x}^{3}})$ .

3. $\sin xdx=-d(\cos x)=-d(\cos x\pm a)=d(a-\cos x)$ .

4. $\cos xdx=d(\sin x)=d(\sin x\pm a)=-d(a-\sin x)$ .

5. $\frac{{dx}}{{{{{\cos }}^{2}}x}}=d(\tan x)=d(\tan x\pm a)=-d(a-\tan x)$ .

6. $\frac{{dx}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}=-d(\cot x)=-d(\cot x\pm a)=d(a-\cot x)$ .

7. $\frac{{dx}}{{2\sqrt{x}}}=d(\sqrt{x})=d(\sqrt{x}\pm a)=-d(a-\sqrt{x})$ .

8. ${{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})=d({{e}^{x}}\pm a)=-d(a-{{e}^{x}})$ .

9. $\frac{{dx}}{x}=d(\ln x)=d(\ln x\pm a)=-d(a-\ln x)$ .

10. $dx=\frac{1}{a}d(ax+b)=-\frac{1}{a}d(b-ax)$ .

Ví dụ 2.1: Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $\int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}}$ .	b) $\int{{\frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}$ .
c) $\int{{\sqrt{{4x+5}}dx}}$ .	d) $\int{{\frac{{dx}}{{3x+2}}}}$ .
e) $\int{{\left( {\sin 2x+\frac{3}{{4x-3}}} \right)dx}}$ .	f) $\int{{\left( {\sin \frac{x}{2}+\sin x+\sin 3x} \right)dx}}$ .
g) $\int{{\left( {{{e}^{{-2x+1}}}-\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}3x}}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}} \right)dx}}$ .

Lời giải:

a) $\int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}dx}}=-\frac{1}{3}\int{{{{{(1-3x)}}^{{2018}}}d(1-3x)}}=-\frac{{{{{(1-3x)}}^{{2019}}}}}{{6057}}+C$ .

b) $\int{{\frac{{dx}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}=\frac{1}{2}\int{{\frac{{d(2x+1)}}{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}=-\frac{1}{2}.\frac{1}{{2x+1}}+C=-\frac{1}{{2(2x+1)}}+C}}$ .

c) $\int{{\sqrt{{4x+5}}dx}}=\frac{1}{4}\int{{\sqrt{{4x+5}}d(4x+5)}}=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}{{(4x+5)}^{{\frac{3}{2}}}}+C=\frac{1}{6}{{(4x+5)}^{{\frac{3}{2}}}}+C$ .

d) $\int{{\frac{{dx}}{{3x+2}}=\frac{1}{3}\int{{\frac{{d(3x+2)}}{{3x+2}}=\frac{1}{3}\ln |3x+2|\,+C}}}}$ .

e) $\int{{\left( {\sin 2x+\frac{3}{{4x-3}}} \right)dx}}=\int{{\sin 2xdx}}+\int{{\frac{{3dx}}{{4x-3}}}}=\frac{1}{2}\int{{\sin 2x\,d(2x)}}+\frac{3}{4}\int{{\frac{{d(4x-3)}}{{4x-3}}}}$

$=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{4}\ln |4x-3|+C$ .

f) $\int{{\left( {\sin \frac{x}{2}+\sin x+\sin 3x} \right)dx}}$ .

Ta có $d\left( {\frac{x}{2}} \right)=\frac{1}{2}dx\Rightarrow dx=2d\left( {\frac{x}{2}} \right);\,d(3x)=3dx\Rightarrow dx=\frac{1}{3}d(3x)$ .

Từ đó $\int{{\left( {\sin \frac{x}{2}+\sin x+\sin 3x} \right)dx=\int{{\sin \frac{x}{2}dx}}+\int{{\sin xdx}}+\int{{\sin 3xdx}}}}$

$2\int{{\sin \frac{x}{2}d\left( {\frac{x}{2}} \right)+\int{{\sin xdx}}+\frac{1}{3}\int{{\sin 3x\,d(3x)}}}}=-2\cos \frac{x}{2}-\cos x-\frac{1}{3}\cos 3x+C$ .

g) $\int{{\left( {{{e}^{{-2x+1}}}-\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}3x}}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}} \right)dx}}=\int{{{{e}^{{-2x+1}}}dx-\int{{\frac{{dx}}{{{{{\sin }}^{2}}3x}}+\int{{\frac{4}{{\sqrt{x}}}dx}}}}}}$

$=-\frac{1}{2}\int{{{{e}^{{-2x+1}}}d(-2x+1)}}-\frac{1}{3}\int{{\frac{{d(3x)}}{{{{{\sin }}^{2}}3x}}+4\int{{{{x}^{{-\frac{1}{2}}}}}}dx}}=-\frac{1}{2}{{e}^{{-2x+1}}}+\frac{1}{3}\cot 3x+8\sqrt{x}+C$ .