Nguyên hàm- Phương pháp nguyên hàm từng phần

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

A. Phương pháp

Công thức nguyên hàm từng phần: $I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$ .

Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng $\int{f(x).g(x)dx}$ trong đó ( $f(x)$ và $g(x)$ là hai trong 4 loại hàm: đa thức, lượng giác, mũ, loga.

Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Các bước tính nguyên hàm từng phần:

- Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=\int{f(x).g(x)dx}$ .

- Bước 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=f(x)\\dv=g(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=f'(x)dx\\v=\int{g(x)dx}\end{array} \right.$ (chọn $v$ là một nguyên hàm của $g(x)$ ).

- Bước 3: Khi đó $I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3) Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f'(x)=(x+1){{e}^{x}}$ và $\int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+c$ với $a,b,c$ là các hằng số. Khi đó:

A. $a+b=2$ . B. $a+b=3$ . C. $a+b=0$ . D. $a+b=1$ .

Lời giải:

$f'(x)=(x+1){{e}^{x}}\Rightarrow f(x)=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=x+1\\dv={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v={{e}^{x}}\end{array} \right.\Rightarrow f(x)$ $=(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}d(x+1)}=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c=x{{e}^{x}}+C$ .

Chọn $f(x)=x{{e}^{x}}$ ta có $\int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}=x\\d{{v}_{1}}={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}=dx\\{{v}_{1}}={{e}^{x}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int{f(x)dx=}x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C$ .

Do đó $a=1;\,b=-1\Rightarrow a+b=0$ . Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau :

a) $I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}$ . b) $I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$ . c) $I=\int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx$ .

Lời giải:

a) $I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln x\\dv={{x}^{2}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{{{x}^{3}}}{3}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.}\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C$ .

Nhận xét: Ngoài cách đặt $u,v$ như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

$I=\int{\ln xd\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}d(\ln x)}}$ $=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C}$ .

b) $I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{e}^{x}}\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\\v=-\cos x\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+\int{\cos x.{{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}={{e}^{x}}\\d{{v}_{1}}=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}={{e}^{x}}dx\\{{v}_{1}}=\sin x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x-\int{\sin x.{{e}^{x}}dx}=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Leftrightarrow 2I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C\Leftrightarrow I=-\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x+C\end{array}$

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt $u,v$ tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt $u$ .

c) $\int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{x}^{2}}+2x\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=(2x+2)dx\\v=-\cos x\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+\int{\cos x.(2x+2)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=2x+2\\dv=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=2dx\\v=\sin x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x-\int{\sin x.2dx}\\I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x+2\cos x+C\end{array}$

Nhận xét: Nếu hàm đa thức bậc $n$ thì phải thực hiện tích phân từng phần $n$ lần.

Ví dụ 3: Tìm $I=\int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx$

A. $I=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C$ . B. $I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+C$ .

C. $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$ . D. $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$ .

Lời giải:

$I=\int{\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\\dv=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\\v=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\end{array} \right.$ .

Theo công thức tính nguyên hà, từng phần, ta có:

$I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-\int{dx}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$

Chọn C.

Ví dụ 4: Kết quả của phép lấy nguyên hàm $I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ là

A. $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ . B. $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+C$ .

C. $I=\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ . D. $I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right)+C$ .

Lời giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\sqrt{{{x}^{2}}+a}\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx\\v=x\end{array} \right.$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{({{x}^{2}}+a)-a}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}$

$=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx+a\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-I+a.J}$ (1)

Tính $J=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}}$ .

Đặt $t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+a}\Rightarrow dt=\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}} \right)dx$ $=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+a}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx=\frac{t}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ .

$\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=\frac{dt}{t}$ .

Do đó $J=\int{\frac{dt}{t}=\ln |t|\,=\,\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}$ . (2)

Từ (1) và (2) ta có: $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ .

Chọn A.

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin \left( \ln x \right)$ là hàm số

A. $F(x)=\frac{x\cos (\ln x)}{2}+C$ . B. $F(x)=\frac{x\sin x(\ln x)}{2}+C$ .

C. $F(x)=\frac{x\cos (\ln x)-x\sin (\ln x)}{2}+C$ . D. $F(x)=\frac{x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)}{2}+C$ .

Lời giải:

Tính $F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\sin (\ln x)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\sin (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1}{x}\cos (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right.$ .

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$F(x)=x\sin (\ln x)-\int{\cos (\ln x)dx}=x\sin (\ln x)-J$ (1)

Xét $J=\int{\cos (\ln x)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\cos (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=-\frac{1}{x}\sin (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right.$